一、Concentration phenomena in the semilinear parabolic equation（论文文献综述）
安家嘉[1]（2021）在《一类退化抛物方程奇异解的数值分析》文中研究指明由于抛物型偏微分方程在物理、力学和工程技术中有着广泛的应用,因此对其理论和数值算法的研究也一直是众多数学家研究的热点问题,对带Neumann边界条件抛物型偏微分方程的数值算法研究亦是其中的研究课题之一.从而本文的研究内容如下:首先,利用全离散格式的有限差分法研究带有奇异Neumann边界条件和奇异反应项的半线性抛物问题数值解的渐近行为.在初始数据满足一定条件的假设下,证明了数值解淬火速率与连续解淬火速率的一致性,数值淬火时间收敛于连续淬火时间,并通过一些数值实验验证理论结果的正确性.其次,文中利用半离散格式的有限元方法研究带有奇异Neumann边界条件和奇异反应项的拟线性抛物问题数值解的渐近行为.证明了数值解淬火速率与连续解淬火速率是一致的,数值淬火时间收敛于连续淬火时间,并给出数值实验来验证理论结果的正确性.总之,本文通过两种数值方法对两个问题的离散,从理论上严谨地分析了数值解的渐近行为,从数值上完美地模拟了解的性态,对这两个问题在物理、力学和工程技术中的应用有着一定的指导意义.
余永毅[2]（2021）在《某些随机偏微分方程的Carleman估计及应用》文中研究说明本篇学位论文主要研究两类典型的随机发展方程:随机退化抛物方程和修正随机梁方程的Carleman估计,并且给出它们在能控性、不灵敏控制问题和反问题中的应用.作为一类加权的能量估计,Carleman估计是研究确定性和随机偏微分方程唯一性问题、控制和反问题重要的工具.加权恒等式法是建立Carleman估计重要的方法之一.但它对于某些随机偏微分方程的系数和非齐次项正则性要求较高,这会限制Carleman估计在控制问题中的应用.之后,两次对偶方法被提出,解决了这一问题.以随机抛物方程为例,利用两次对偶方法建立的估计更加一般,适用范围也更广泛.本篇论文在第二章建立了随机退化抛物方程的Carleman估计.为了克服方程的退化性带来的困难,本文通过选取适当的权函数,对于正向和倒向随机退化抛物方程,分别利用加权恒等式法和两次对偶方法建立了相应的Carleman估计.通过对这些估计进行比较,说明了当方程具有退化性时,利用这两种方法建立的Carleman估计各有所长,它们在一些控制问题中对低阶项系数的要求不同,这将是非线性问题的研究基础.应用第二章建立的Carleman估计,本篇论文在第三章分别研究了随机退化抛物方程的不灵敏控制问题和Stackelberg-Nash均衡策略下的能控性问题.另外,本文还建立了权函数仅与时间变量有关的Carleman估计,并将其应用于随机退化抛物方程反初值问题的研究.本篇论文在第四章研究了修正随机梁方程的能控性和反问题.对于经典的随机梁方程,本文证明了即便在方程的扩散项、漂移项和边界处处加控制,相应的系统都做不到精确能控.但是,通过对模型进行修正,并建立适当的Carleman估计,可以得到:修正的随机梁方程仅在扩散项和部分边界施加控制,就可以在任一时刻实现精确能控性.而且,本文还利用Carleman估计的方法,得到了修正随机梁方程反源问题的唯一性结果.
苏远航[3]（2021）在《非局部算子的谱理论及应用》文中认为本文主要研究了在时空非均匀环境下非局部算子的谱理论及应用.具体地说,讨论了非对称非局部算子的主特征值、非局部算子的广义主特征值、时间周期非局部算子的广义主特征值及它们应用到非局部扩散KPP方程中,也讨论了矩阵型非局部算子的主特征值及其应用到多基因型非均匀干细胞再生模型中.主要研究成果包括以下四个部分.首先讨论了非对称非局部算子的主特征值.利用对偶的思想建立了主特征值的极大极小刻画,并且讨论了主特征值关于扩散率的连续可微性、单调性和渐近极限.然后应用相关结果研究了非局部扩散Logistic方程,建立了该方程正稳态解的存在唯一性和全局渐近稳定性,研究了正稳态解关于扩散率的连续性和渐近极限,以及利用正稳态解定义了种群总数量.结果表明:在空间非均匀环境中,在特殊情况下当非局部扩散被允许时种群总数量严格大于环境总容纳量.其次研究了扩散距离和扩散耗散对带有Neumann边界条件的非局部扩散方程的影响.具体地说,主要研究了非局部扩散算子的广义主特征值、非局部扩散KPP方程的正稳态解和解在大扩散距离和小扩散距离下的渐近行为.结果表明:对于大扩散距离,它们的渐近行为关于耗散参数是一致的,但当耗散参数在不同的范围内时,小扩散距离会导致不同的渐近行为.接着讨论了时间周期非局部扩散算子的广义主特征值.建立了两个广义主特征值之间的等价关系,研究了广义主特征值关于周期振荡频率、扩散率和扩散距离的依赖性.然后应用相关结果到时间周期非局部扩散KPP方程中,给出了周期振荡频率、扩散率和扩散距离对方程正时间周期解存在性和稳定性的影响结果.最后研究了矩阵型非局部算子的主特征值,包括主特征值的存在性、单调性、符号和渐近行为.然后利用相关结论讨论了多基因型非均匀干细胞再生模型正稳态解的存在唯一性、稳定性及长时间行为,并且当突变常数足够小时分析了正稳态解的存在唯一性、渐近行为及建立了一些可计算的准则.结果表明:在适当条件下,带基因突变的多基因型干细胞群体的长时间行为是一致的,即灭绝、正常存活或异常生长.
李精伟[4]（2020）在《保证反应扩散方程物理性质的数值方法》文中指出当今,计算已成为继理论和实验之后的第三种不可或缺的科学研究方法。并且在许多情况下,由于科学计算不受外部因素和实验器材影响的灵活性,它能够最大程度以最小的代价获得与理论和实验相当的结果。这个使得计算在当今科学领域占有非同一般的统治地位。反应扩散方程是一类重要的偏微分方程,在物理、生物、材料以及社会科学中都有广泛的应用。并且,反应扩散方程有着比其他偏微分方程更加好的特性,例如极值原理、比较原理、不变集存在以及能量衰减等物理特性,这些性质在数学分析和数值模拟中也是最基本的,往往是不能忽视的。因此我们需要研究和构造数值格式来满足这些物理特性。本文的主要研究内容包括:一、半线性抛物方程的保上界积分因子法。众所周知,强稳定性积分因子龙格库塔方法与传统的强稳定性龙格库塔方法相比,在时间演化过程中,避免了线性算子的时间步长限制。然而在遇到比强稳定性更弱的保上界性时,却由于非线性算子带来的时间步长限制,显得不那么有效。因此我们想设计一种无时间步长限制的保界格式。通过引入稳定化系数,我们得到一种显式稳定化积分因子龙格库塔方法。顾名思义显式稳定化积分因子龙格库塔方法是在龙格库塔方法的基础上,加入严格单调递增的序列的充分条件,保证数值解的有界性。通过优化方法,我们得到了三阶格式,并且针对每一个提出的方法,验证了它们解的保界性。数值实验中表明严格单调递增序列是一个充分条件,验证了每一个方法的收敛性,并且几个针对性实验说明了所提出的方法确实满足保上界性。二、曲面反应扩散方程的保极值虚拟元方法。虚拟元方法的主要特征是它能看成是经典有限元方法的推广,它最大的优势在于可以处理多边形单元。虚拟元方法已经成功应用到一大类方程当中,然而将虚拟元方法推广到曲面上仍然是一个开放性问题,其中作者Frittelli提出了一种曲面虚拟元方法,但硬性要求是离散化曲面是一个平的逼近,即单元上的网格节点都要处于同一个平面。这个方法很容易构造虚拟元空间以及相应的收敛性分析,平的离散化曲面对于一般的曲面来讲却难以实现。为了克服这个困难,我们设计出一种基于Voronoi网格的局部切向提升虚拟元方法,这种方法结合了曲面虚拟元方法和局部切向提升法。这样不平的网格很容易投影到局部切向空间构造虚拟元空间。基于H1投影和L2投影,我们得到了相应离散双线性形式的有界性,数值模拟验证了所提方法的有效性,并且可以结合质量集中方法保证反应扩散方程的极值原理。三、曲面Stokes方程的能量耗散径向基函数方法。求解Stokes方程遇到的最大困难是由离散的inf-sup条件引起的速度和压力耦合。为此许多学者提出了很多方法,主要可以分为两大类。一种方法是投影方法,这种方法的主要思想是利用压力将中间速度域投影到不可压速度域,然而这种方法要求特定的网格,中间速度和压力的边界条件难以符合实际的边界条件。另一种方法是压力Poisson方程,主要是利用Helmholtz分解。通过分解,可以得到一个等价方程,其中速度可以看成一个演化变量,压力变成一个隐函数。这种方法使得速度和压力解耦,能够避免离散inf-sup条件的限制。本文在此基础上,利用曲面Helmholtz分解,将曲面Stokes方程转化为等价方程,并对等价方程中的无散度速度采用无散度径向核函数插值,得到了稳定性和收敛性分析,理论分析和数值实验表明了方法的有效性,并且验证了曲面Stokes方程的动能是单调递减的。
孙凯[5]（2020）在《一类抛物型方程第三类边界中的参数估计方法》文中认为抛物型方程的边值问题已在多个领域广泛应用,而在实际中,边界条件往往含有未知参数,因此对边界条件中的参数估计方法的研究具有重要的实用价值。本文以一类抛物型方程第三类边界条件为研究对象,将多元线性回归分析中的最小二乘理论和岭估计方法,分别结合差分思想,在已知采样数据的条件下,给出抛物型方程第三类边界条件的参数估计方法。首先,本文运用最小二乘估计理论,结合差分思想,推导出一类抛物型方程的第三类边界条件的参数估计式,通过两个算例,进行数值模拟,讨论了不同步长对估计结果的影响,研究结果表明:步长的选取决定了误差的大小,当h1=h2=h,h=0.001时,参数k和q的相对误差最小,若固定h1=0.01,且h2=0.002时,参数k和q的相对误差最小,若固定h2=0.01,且h1=0.005时,参数k和q的相对误差最小。其次,本文利用岭估计理论,结合差分思想,推导出一类抛物型方程的第三类边界方程的参数估计式,在最小二乘估计方法的基础上考虑有偏估计时对估计结果的影响,比较分析了取不同的λ值时,两种估计方法的准确度。研究结果表明:选取步长h1和h2的不同组合时,基于岭估计得到的参数估计方法可以有效地减小误差,当λ取合适的值,基于岭估计得到的结果要好于基于最小二乘估计的估计结果。最后,本文给出了一种检验方法,通过抛物型方程以及估计方法得到的抛物型方程边界条件,利用差分格式,推导出中间各个结点的近似值,并与样本值u（xi,yi）进行比较,以检验该方法的有效性。通过算例的模拟分析,表明该检验方法是可行的,不同的差分格式对检验的结果有一定的影响。
李亚男[6]（2020）在《时间依赖相空间中吸引子的稳定性理论及其应用》文中研究说明本文主要研究了时间依赖相空间中定义的扰动发展过程的拉回l-吸引子和拉回l-指数吸引子关于扰动参数λ ∈∧的稳定性.首先,给出拉回l-吸引子关于扰动参数λ ∈ ∧在Hausdorff半度量意义下的上半连续性判定定理,在此基础上,使用贝尔纲定理建立了拉回l-吸引子的剩余连续性准则,即在对称的Hausdorff度量意义下,拉回l-吸引子在参数空间∧的某剩余子集中处处连续的判定准则,并且使用Dini定理证明了拉回l-吸引子在参数空间∧中的处处连续性和等度吸引性之间的等价关系.其次,在时间依赖相空间中提出了拉回l-指数吸引子的概念,并且使用拟稳定估计方法构造性地给出了拉回l-指数吸引子的存在性以及在对称的Hausdorff度量意义下关于扰动参数λ ∈ ∧的Holder连续性的首个判定定理.最后,给出了上述抽象准则在三维有界光滑区域Ω上对两类非线性发展方程的吸引子问题的应用,并且得到了以下结果:（i）首次给出了如下满足非标准增长条件的拟线性耗散波动方程#12能量弱解的唯一性和正则性结果,并证明了由该方程生成的发展过程在时间依赖的Orlicz-Sobolev空间（?）中拉回l-吸引子和拉回l-指数吸引子存在性、正则性以及关于扰动参数λ的稳定性结果;（ii）证明了带有时间依赖记忆项的粘弹性模型#12的整体适定性,并且提供了一种新方法用以证明相应的发展过程拉回l-吸引子和拉回l-指数吸引子的存在性、分形维数的有限性、最佳正则性以及关于粘性系数λ的稳定性结果.
王宇彤[7]（2019）在《带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性》文中指出本文研究了带有不同非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性,主要考虑两类分别含有不同的耗散机制的方程.第一类为拟抛物方程,如半线性拟抛物方程和广义BBM方程.对于半线性拟抛物方程,我们关注了解的适定性以及方程中出现的Fujita指标与初值的关系.对于广义BBM方程,在大初值的情形下,方程含有的热扩散项与非线性项的竞争机制是我们主要研究的问题和面对的困难,同时我们还关注了方程在非零常状态下大扰动解表现出来的双曲特性.第二类方程是各向异性退化抛物方程,我们分别考虑了带退化扩散项的广义BBM方程以及在流体和磁场中都在同一个方向上退化扩散的磁流体方程组.由于耗散机制的退化,在某些方向上无法看到粘性效果,这是我们面对的主要困难.我们将分别考虑这两类方程的Cauchy问题的解的适定性和衰减性态等.具体内容如下:第一章为绪论,我们介绍了在本文中大量用到的Green函数方法.接着介绍了本文中考虑的三类方程:半线性拟抛物方程,广义BBM方程和磁流体方程组的物理背景,研究历史和已有的工作,最后陈述了本文研究的问题和主要结果.第二章中,我们研究了多维空间中一类半线性拟抛物方程在小初值情况下解的整体存在性和逐点估计.首先利用频域分解的方法,得到了 Green函数的逐点估计,同时对在方程变形中出现的非局部化算子进行了处理.接着,采用[76]中提出的整体迭代法,不需要证明局部解的存在性,而是利用解的衰减性质直接得到了整体经典解的存在唯一性和衰减估计.在这个基础上,我们又利用Green函数得到了解的逐点估计,并给出了方程解存在的Fujita指标的范围.最后,我们考虑初值所在空间与Fujita指标的关系,通过定义初值在某些负指数Sobolev空间,扩大了 Fujita指标的范围,即扩大了解存在的范围并对应有更好的衰减.就作者所知,目前已有很多文献中提到过负指数空间会对解的衰减产生影响,但尚无结果提到负指数空间对解的范围产生的影响.第三章中,我们考虑了广义BBM方程在三维空间中的Cauchy问题在非零常状态附近大扰动解的整体存在性,衰减估计以及逐点估计.我们主要面临的困难有:首先,大扰动失去了小性,使得我们不再能够利用先验估计等假设;其次,方程带有非局部化算子,使得我们没有像带粘性的Burgers方程一样的最大模原理;同时我们还有非线性项无法被控制的困难.本章分为三个部分,第一部分中,通过构造Cauchy收敛列的方法得到了解的局部存在性.接着,利用经典的Fourier方法,得到解的Green函数的逐点估计,并对方程做了变换,利用新的方程解的L2有界来导出原方程的解的H2有界,从而通过Sobolev嵌入定理得到解的L∞有界性.利用这一有界性,可以提高解本身的正则性,再结合局部解的存在性从而得到解的整体存在性.第二部分,考虑了解的衰减估计,此时,用通常的长短波分解的方法已不再可行,为此,我们利用了新的方法,利用与时间相关的时频分解,将解分成两部分后分别用Green函数和精细能量估计进行处理,得到了解的Hs衰减估计.第三部分考虑了方程大扰动解的逐点估计,在缺少了小扰动的小性的情况下,我们充分利用了已经得到的解的L∞有界和衰减,利用时间的衰减作为小性的替代,克服了这一困难.从以上逐点估计中可以更清晰地看到解的大时间行为,我们发现方程的解在具有抛物方程性态的同时,还表现出了双曲的特性.在零状态下的扰动看不到这种双曲性态,而非零常状态情况下的扰动可以让我们看到,方程的解在扩散的同时,其主体又将沿着某一条与非零常状态相关的直线移动,并且在沿着这条直线的方向上衰减速度最慢.在第四章中,我们研究了带有退化扩散项的广义BBM方程在小扰动情况下解的整体存在性和衰减性态.我们面临的主要困难在于扩散项的退化导致在某一个方向上没有粘性效应,也不再满足Shizuta-Kawashima条件,因而通常抛物方程的研究方法在这里并不适用.为此,我们充分借助了其他方向上的粘性效果转化为阻尼作用,证明了方程解的整体存在性及衰减.本章首先通过迭代的方法得到了局部存在性.接着在进行局部解延拓时,先得到了解的Green函数估计,再利用先验假设和能量估计的方法,将非线性部分分成两个方向进行处理,在有粘性效应的切向上利用粘性项控制,在退化的法向上则利用分部积分等,得到了解在Hs空间中的有界性.最后,在研究解的衰减情况时,采用了高低频分解的办法,切向低频的部分利用Duhamel原理以及各向异性空间的不等式技巧,切向高频部分则利用Poincaré-like不等式及能量估计,从而得到了小扰动解的整体存在性和衰减估计.第五章中,我们研究了带有退化扩散项的磁流体力学方程组（MHD方程组）在小扰动情况下Cauchy问题的解的整体存在性和大时间行为.此时除了扩散项的退化带来的困难之外,方程组相较于方程的复杂性也使得难度有进一步的增加.为此,首先我们利用Duhamel原理,证明通过方程构造的映射为压缩映射,利用不动点原理得到了解的局部存在性.接着,为了证明解的存在性,我们主要分为三个步骤进行考虑.首先,在先验假设的前提下,借助能量估计的手段,并利用方程的对称性,使得流体方程和磁场方程在处理之后相加可以部分抵消,从而先得到了解的Hs有界性.接着在进行解的衰减估计时,利用频域分解的办法,在低频部分利用Green函数的办法,并借助大量各向异性空间的不等式技巧进行处理,在高频部分时则仍旧利用Poincaré-like不等式及能量估计得到了解的Hs衰减性态.最后通过类似的方法得到了解的L∞衰减估计.这样便封闭了先验估计,再利用经典的连续性方法便可以将局部解延拓至整体,从而得到解的整体存在性和大时间的衰减行为.
涂馨予[8]（2019）在《非线性趋化模型和浅水波模型解的适定性》文中指出方程解的适定性一直是偏微分方程理论研究领域的前沿和热点问题。通过研究具有奇异或退化的非线性发展方程的这类问题可以解释和预见物理、力学、生物等学科中的一些特有现象。本文考虑了两类非线性发展方程:生物趋化模型方程和浅水波模型方程。对生物趋化模型,研究了一类抛物-椭圆耦合的趋化-竞争模型的初边值问题,得到了光滑解的全局存在性、一致有界性和大时间行为。对浅水波模型,考虑了一种受科里奥利力（科氏力）影响的Camassa-Holm方程（R-CH方程）的柯西问题,在能量空间1H（）下证得了弱解的全局存在性、唯一性以及一般正则性结果,进一步,构造了方程弱解的Lipschitz度量,在此度量下,弱解是Lipschitz连续依赖于初值的。本文主要分为以下五个章节:第一章,绪论。介绍了趋化模型、浅水波模型的研究背景和本文的研究工作。第二章,研究了一类抛物-椭圆耦合的趋化-竞争模型的初边值问题。在非齐次Neumann边界条件下,假设初值满足适当的正则性条件。首先,当方程中参数比值足够小时,证明了初边值问题的解是全局存在且一致有界的;其次,当方程中某些参数充分大时,得到了解按指数（或多项式）衰减到常稳态解,并精确的算出了收敛率。（本章的主要结果发表在Discrete Contin.Dyn.Syst.A,2018（38）:3617-3636.）第三章,考虑了一类重要而又特别的浅水波方程—Rotation-Camassa-Holm方程（R-CH方程）。研究内容分为两部分:第一部分研究弱解的全局存在性,首先,通过定义新的能量变量将原方程化为半线性的常微分系统;其次,利用标准的常微分定理证明半线性系统的解是全局存在且唯一的;最后,对此半线性系统的解作逆变换,即可证明原方程的弱解在能量空间1H（）中是全局存在的。第二部分考虑弱解的唯一性,先引入新变量得到新的半线性常微分方程组,再利用方程右端项的Lipschitz连续性证明此常微分系统解的唯一性,然后利用反证法证明了原方程弱解是唯一的。（本章的主要结果发表在J.Differential Equations,2019（266）:4864-4900.）第四章,构造了R-CH方程弱解的Lipschitz度量。考虑到即使取光滑初值,R-CH方程在有限时间仍会产生波浪破碎（Wave-breaking）现象,故在通常的Sobolev度量下,第三章得到的弱解不是Lipschitz连续的。为了解决这个问题,首先,建立光滑解的Lipschitz度量;其次,运用Transversality引理证明解的一般正则性结果;再次,利用解的一般正则性结果,将光滑解的Lipschitz度量推广到一般弱解的情形;最后,将此Lipschitz度量和其他度量（Sobolev度量,1L度量,Kantorovich-Rubinstein度量）作了比较。第五章,本论文研究工作的总结和今后研究问题的展望。
于佳利[9]（2019）在《几类非线性高阶发展方程解的定性分析》文中指出本文主要研究几类高阶非线性发展方程解的定性性质:初边值问题解的整体存在性,渐近行为和有限时刻爆破等.本文共分五章:第一章主要介绍所研究问题的相关物理背景和发展概况,并阐述了本文的主要研究内容和目的.第二章主要研究一类带有强材料阻尼和流体动力学阻尼的五阶非线性梁方程的初边值问题.利用Galerkin逼近和紧致性方法,得到了问题弱解的整体存在性.其次,基于一个积分不等式引理,给出了能量的指数速率衰减估计.另外,在初始能量为负值,零和正值的情况下,分别得到了该问题的解在有限时间内爆破的充分条件.第三章考虑带有强阻尼和锥退化的Petrovsky方程的初边值问题.首先,通过结合位势井理论及扰动能量方法,对位势井族情形证明了在源项指数p与非线性弱阻尼项指数m之间没有相互约束的情况下,当0<ε（0）<d,I（u0）>0时,解是整体存在的并以指数速率衰减.其次,在源项指数p大于非线性弱阻尼项指数m的情况下,证明了当ε（0）<d,I（u0）<0时解在有限时间内是爆破的,并给出了爆破时间的上下界估计.第四章研究带有阻尼项,非线性源项和声学边界条件的粘弹性波动方程的初边值问题.利用修正的能量方法,在非线性源项指数p大于非线性弱阻尼项指数m的条件下,证明了当初始能量为正值时解在有限时刻爆破.第五章考虑带有非线性边界源项和阻尼项的高阶粘弹性波动方程的初边值问题解的整体存在性,指数衰减和有限时刻爆破.为此,我们采用Galerkin逼近、势井方法和紧致性方法的结合,得到了整体弱解的存在性.其次,对线性边界弱阻尼的情形,当初始数据属于稳定集族时用扰动能量方法证明了能量以指数速率衰减.最后,对于一般形式的边界弱阻尼（线性或非线性）的情形,利用一个改进的微分不等式技巧,证明了当初始数据属于不稳定集族时任何解在有限时间内是爆破的.
梁婧[10]（2019）在《抛物方程奇异解的自适应网格加点格式研究》文中研究指明求偏微分方程的数值解,要求将偏微分方程离散为差分方程,在离散的网格点上求解代数方程。传统的固定等距离散网格有许多局限性,当解在某一小区域内变化太快时,计算机将无法很好地捕捉这一区域解的行为。例如在计算爆破问题的数值逼近时,数值解和连续解之间会有显着的差异。如果采用整体缩小网格距的办法来克服这个缺陷,计算量将会大大增加。本文介绍一种自适应网格加点方法,该方法能自动调节网格点的疏密,很大程度上减小了计算量且提高了计算精度。首先针对带有狄利克雷边界条件的半线性热方程ut=uxx+up和带有诺依曼边界条件的半线性抛物方程ut=uxx-aup,在空间半离散条件下,通过质量集中法和基函数性质计算得出方程满足的积分式。根据爆破节点满足的式子,推导出加点条件,并详细介绍了自适应网格加点法实施的具体步骤,给出了修复渐近行为所需的具体参数。其次利用尺度变换、两重网格、有限差分和牛顿插值法,证得若u∈C2,1,则数值解的局部收敛阶可达到4 p.证明了数值爆破为单点爆破,即数值爆破集为B（u）=1（爆破前有界）。利用比较原理及上下界估计证明了数值爆破时间的收敛性。最后,给出了自适应网格加点法与传统固定网格法的数值比较,以及自适应网格加点法的误差估计。数值算例表明,自适应网格加点法得到的结果更加精确。误差估计表明,自适应网格加点法可以提高数值解的局部收敛阶。
二、Concentration phenomena in the semilinear parabolic equation（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、Concentration phenomena in the semilinear parabolic equation（论文提纲范文）
（1）一类退化抛物方程奇异解的数值分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 抛物方程有限差分法的研究现状 |
| 1.3 抛物方程有限元法的研究现状 |
| 1.4 本文主要研究工作 |
| 2 基础理论 |
| 2.1 淬火及方程的相关定义 |
| 2.2 渐进表示-同阶与高阶 |
| 2.3 基本定理和不等式 |
| 2.4 有限差分的基本概念及相关理论 |
| 2.5 有限元法的基本概念及相关理论 |
| 3 半线性热方程的有限分法 |
| 3.1 有限差分数值格式 |
| 3.2 有限差分的相关性质 |
| 3.3 数值淬火率 |
| 3.4 数值算例 |
| 4 拟线性热方程的有限元法 |
| 4.1 有限元数值格式 |
| 4.2 数值解的相关性质 |
| 4.3 数值解的淬火率和收敛性 |
| 4.4 数值算例 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
（2）某些随机偏微分方程的Carleman估计及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 问题的背景和主要结果 |
| 1.1 Carleman估计的背景 |
| 1.2 随机退化抛物方程的Carleman估计 |
| 1.3 修正随机梁方程的Carleman估计 |
| 第2章 随机退化抛物方程的Carleman估计 |
| 2.1 权函数的选取和预备性结果 |
| 2.2 正向随机退化抛物方程的Carleman估计 |
| 2.3 倒向随机退化抛物方程的Carleman估计 |
| 2.4 权仅含时间变量的Carleman估计 |
| 第3章 随机退化抛物方程Carleman估计的应用 |
| 3.1 不灵敏控制问题 |
| 3.1.1 背景及主要结果 |
| 3.1.2 不灵敏控制的存在性 |
| 3.2 Stackelberg-Nash均衡意义下的能控性 |
| 3.2.1 背景及主要结果 |
| 3.2.2 Nash均衡的存在性 |
| 3.2.3 主要结果的证明 |
| 3.3 反初值问题 |
| 第4章 修正随机梁方程的Carleman估计及应用 |
| 4.1 适定性结果 |
| 4.2 修正随机梁方程的Carleman估计 |
| 4.3 能控性 |
| 4.4 反源问题 |
| 总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间公开发表论文情况 |
（3）非局部算子的谱理论及应用（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 半线性抛物方程 |
| 1.1.2 非局部扩散方程 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 非局部扩散方程的稳态问题 |
| 1.2.2 非局部算子的谱理论 |
| 1.3 研究问题和主要结论 |
| 第二章 非对称非局部算子的主特征值及应用 |
| 2.1 引言和主要结果 |
| 2.2 非对称非局部算子 |
| 2.2.1 主特征值新的极大极小刻画 |
| 2.2.2 主特征值关于扩散率的性质 |
| 2.3 非局部扩散Logistic方程 |
| 2.3.1 Dirichlet边界条件 |
| 2.3.2 Neumann边界条件 |
| 2.3.3 应用种群总数量 |
| 第三章 非局部算子的广义主特征值及应用 |
| 3.1 引言和主要结果 |
| 3.2 主特征值的渐近行为 |
| 3.2.1 大扩散距离 |
| 3.2.2 小扩散距离 |
| 3.3 正稳态解的渐近行为 |
| 3.3.1 大扩散距离 |
| 3.3.2 小扩散距离 |
| 3.4 发展方程解的渐近行为 |
| 3.4.1 大扩散距离 |
| 3.4.2 小扩散距离 |
| 第四章 时间周期非局部算子的广义主特征值及应用 |
| 4.1 引言和主要结果 |
| 4.2 时间周期的非局部扩散算子 |
| 4.2.1 广义主特征值的等价性 |
| 4.2.2 周期震荡频率的影响 |
| 4.2.3 扩散率和扩散距离的影响 |
| 4.3 时间周期的非局部扩散KPP方程 |
| 4.3.1 周期震荡频率的影响 |
| 4.3.2 扩散率的影响 |
| 4.3.3 扩散距离的影响 |
| 第五章 矩阵型非局部算子的主特征值及应用 |
| 5.1 引言和主要结果 |
| 5.2 矩阵型非局部算子 |
| 5.2.1 主特征值的存在性 |
| 5.2.2 主特征值关于λ的单调性 |
| 5.2.3 主特征值和主特征函数关于∈的渐近极限 |
| 5.3 多基因型干细胞再生模型 |
| 5.3.1 线性非局部发展方程 |
| 5.3.2 稳态解的存在唯一性 |
| 5.3.3 全局动力学 |
| 参考文献 |
| 研究展望 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（4）保证反应扩散方程物理性质的数值方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及概况 |
| 1.1.1 极值原理 |
| 1.1.2 能量耗散 |
| 1.2 本文主要研究内容及结构安排 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 曲面流体力学方程的推导 |
| 2.2 时间指数积分方法 |
| 2.2.1 时间指数差分方法(ETD) |
| 2.2.2 积分因子法(IF) |
| 2.3 径向基函数插值 |
| 第3章 无条件保上界显式稳定化积分因子龙格库塔方法 |
| 3.1 半线性抛物方程 |
| 3.2 SSP积分因子龙格库塔方法 |
| 3.3 MBP特性 |
| 3.4 无条件MBP显式SIFRK方法 |
| 3.5 构造SIFRK方法 |
| 3.5.1 一阶SIFRK方法 |
| 3.5.2 二阶SIFRK方法 |
| 3.5.3 三阶SIFRK方法 |
| 3.6 数值实验 |
| 3.6.1 收敛性测试 |
| 3.6.2 MBP测试 |
| 3.6.3 三维例子 |
| 第4章 Voronoi多边形离散化曲面的局部切向提升虚拟元方法 |
| 4.1 曲面反应扩散方程 |
| 4.2 曲面标量Sobolev空间和正则性结果 |
| 4.2.1 曲面标量Sobolev空间 |
| 4.2.2 曲面反应扩散方程的正则性结果 |
| 4.3 基于Voronoi多边形的曲面虚拟元方法 |
| 4.3.1 Voronoi多边形离散化曲面 |
| 4.3.2 虚拟元空间 |
| 4.3.3 曲面虚拟元方法 |
| 4.3.4 刚度矩阵的构造 |
| 4.3.5 质量矩阵和荷载向量的构造 |
| 4.4 离散双线性形式的误差有界性 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.5.1 单位球的收敛性结果 |
| 4.5.2 环的收敛性结果 |
| 4.5.3 Turing系统上的应用 |
| 4.5.4 Fitzhugh-Nagumo模型的应用 |
| 第5章 无散度径向核方法 |
| 5.1 曲面Stokes方程 |
| 5.2 曲面向量Sobolev空间 |
| 5.3 曲面Helmholtz分解 |
| 5.4 曲面Stokes方程的压力Laplace形式 |
| 5.5 稳定性和误差估计 |
| 5.5.1 半离散方程的收敛性 |
| 5.5.2 全离散方程的收敛性 |
| 5.6 数值实验 |
| 5.6.1 球面上的无散度插值 |
| 5.6.2 球面上的定常Stokes方程 |
| 5.6.3 数值耗散 |
| 5.6.4 旋转流体的几何交互作用 |
| 5.6.5 多联通曲面的应用 |
| 第6章 结论与展望 |
| 6.1 结论 |
| 6.2 未来的科研方向 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、博士期间的工作 |
（5）一类抛物型方程第三类边界中的参数估计方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 课题背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文的内容结构及主要工作 |
| 2 基础理论 |
| 2.1 抛物型方程的基本概念及其定解条件 |
| 2.2 差分思想的基础理论 |
| 2.2.1 一维差分逼近 |
| 2.2.2 二维差分逼近 |
| 2.3 多元线性回归模型 |
| 2.4 偏微分方程反问题的概念与分类 |
| 2.4.1 偏微分方程反问题的基本概念 |
| 2.4.2 偏微分方程反问题的分类 |
| 2.5 本章小结 |
| 3 基于最小二乘法的第三类边界条件的参数估计 |
| 3.1 最小二乘法的理论部分 |
| 3.1.1 最小二乘法 |
| 3.1.2 最小二乘法的性质 |
| 3.2 基于最小二乘估计的理论推导 |
| 3.3 基于最小二乘估计的数值模拟 |
| 3.3.1 基于最小二乘估计右侧边界的数值模拟 |
| 3.3.2 基于最小二乘估计左侧边界的数值模拟 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 基于岭估计的第三类边界条件的参数估计 |
| 4.1 岭估计的基础理论 |
| 4.2 基于岭估计的参数估计的理论推导 |
| 4.3 基于岭估计的数值模拟 |
| 4.3.1 基于岭估计的右侧边界的数值模拟 |
| 4.3.2 基于岭估计的左侧边界的数值模拟 |
| 4.4 本章小结 |
| 5 一种检验方法的可行性分析 |
| 5.1 一种检验方法分析 |
| 5.1.1 几种典型的差分格式介绍 |
| 5.1.2 不同的差分格式的数值计算 |
| 5.2 数值模拟 |
| 5.3 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（6）时间依赖相空间中吸引子的稳定性理论及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| §1.1 经典动力系统中吸引子的稳定性理论 |
| §1.2 指数吸引子及其稳定性 |
| §1.3 时间依赖相空间中吸引子的存在性理论 |
| §1.4 论文主要研究结果和内容安排 |
| §1.4.1 时间依赖相空间中吸引子的稳定性理论 |
| §1.4.2 对两类非线性发展方程的应用 |
| 第二章 拉回(?)-吸引子和拉回(?)-指数吸引子的稳定性 |
| §2.1 预备知识 |
| §2.1.1 记号说明 |
| §2.1.2 拉回(?)-吸引子 |
| §2.1.3 拉回(?)-吸引子的存在性 |
| §2.2 拉回(?)-吸引子的稳定性 |
| §2.2.1 拉回(?)-吸引子的上半连续性 |
| §2.2.2 拉回(?)-吸引子的剩余连续性 |
| §2.2.3 处处连续性和拉回等度吸引性的等价关系 |
| §2.3 拉回(?)-指数吸引子的存在性和稳定性 |
| §2.3.1 拉回(?)-指数吸引子的存在性 |
| §2.3.2 拉回(?)-指数吸引子的连续性 |
| §2.4 本章小结 |
| 第三章 满足非标准增长条件的拟线性耗散波动方程 |
| §3.1 预备知识 |
| §3.1.1 一般的Sobolev空间理论 |
| §3.1.2 变指标Lebesgue空间和Sobolev空间 |
| §3.1.3 依赖时空变量的函数空间 |
| §3.2 基本假定和主要结果 |
| §3.2.1 基本假定 |
| §3.2.2 主要结果 |
| §3.3 适定性结果 |
| §3.3.1 能量弱解的存在性 |
| §3.3.2 关于初值的稳定和拟稳定估计 |
| §3.4 拉回(?)-吸引子的存在性和稳定性 |
| §3.4.1 拉回(?)-吸收族的存在性 |
| §3.4.2 关于扰动参数λ的稳定性估计 |
| §3.4.3 拉回(?)-吸引子的存在性和连续性 |
| §3.4.4 拉回(?)-指数吸引子的存在性和连续性 |
| §3.5 正则性结果 |
| §3.6 本章小结 |
| 第四章 带有时间依赖记忆核的粘弹性模型 |
| §4.1 基本假定和主要结果 |
| §4.1.1 基本假定 |
| §4.1.2 主要结果 |
| §4.2 一些辅助不等式 |
| §4.3 适定性结果 |
| §4.3.1 弱解的存在性 |
| §4.3.2 弱解的唯一性 |
| §4.3.3 弱解在相空间H_t中关于时间和初值的连续性 |
| §4.4 技术性估计 |
| §4.4.1 耗散估计 |
| §4.4.2 H_t~(1/3)中分解与耗散估计 |
| §4.4.3 H_t~-中分解与耗散估计 |
| §4.4.4 稳定和拟稳定估计 |
| §4.5 拉回(?)-吸引子的存在性和稳定性 |
| §4.5.1 拉回(?)-吸收族和拉回(?)-吸引族的存在性 |
| §4.5.2 拉回(?)-指数吸引子的存在性和连续性 |
| §4.5.3 拉回(?)-吸引子的存在性和连续性 |
| §4.6 本章小结 |
| 第五章 创新性总结与进一步工作展望 |
| 参考文献 |
| 在学期间论文发表情况 |
| 致谢 |
（7）带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 历史背景及研究现状 |
| §1.1.1 Green函数 |
| §1.1.2 半线性拟抛物方程 |
| §1.1.3 广义BBM方程 |
| §1.1.4 磁流体方程(MHD方程) |
| §1.2 本文结构及主要结论 |
| §1.3 记号约定和预备引理 |
| 第二章 半线性拟抛物方程整体解的存在性和大时间行为 |
| §2.1 问题和主要结果 |
| §2.2 Green函数的逐点估计 |
| §2.3 经典解的存在性 |
| §2.4 非线性问题解的逐点估计 |
| §2.5 方程初值与Fujita指标的关系 |
| 第三章 广义BBM方程Cauchy问题大扰动解大时间行为 |
| §3.1 问题和主要结果 |
| §3.2 解的整体存在性 |
| §3.2.1 解的局部存在性 |
| §3.2.2 Green函数的逐点估计及L~p衰减估计 |
| §3.2.3 解的L~p有界性估计和整体存在性 |
| §3.3 解在H~s空间中的衰减估计 |
| §3.3.1 低频部分的H~s衰减估计 |
| §3.3.2 高频部分H~s衰减估计 |
| §3.4 大扰动解的逐点估计 |
| §3.4.1 初值部分的估计 |
| §3.4.2 非线性部分的估计 |
| 第四章 带退化扩散项的广义BBM方程Cauchy问题解的大时间行为 |
| §4.1 问题和主要结果 |
| §4.2 经典解的局部存在性 |
| §4.3 经典解的整体存在性及衰减估计 |
| §4.3.1 解的有界性估计 |
| §4.3.2 解的H~s衰减估计 |
| §4.3.3 解的L~∞衰减估计 |
| 第五章 带退化扩散项的MHD方程组Cauchy问题解的大时间行为 |
| §5.1 问题和主要结果 |
| §5.2 经典解的局部存在性 |
| §5.3 经典解的整体存在性和衰减估计 |
| §5.3.1 解的有界估计 |
| §5.3.2 解的H~s衰减估计 |
| §5.3.3 解的L~∞衰减估计 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位论文期间发表或录用的学术论文目录 |
（8）非线性趋化模型和浅水波模型解的适定性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1 绪论 |
| 1.1 问题的研究背景 |
| 1.1.1 趋化模型的研究背景 |
| 1.1.2 浅水波模型的研究背景 |
| 1.2 本文内容介绍 |
| 2 抛物-椭圆耦合的趋化-竞争模型 |
| 2.1 问题的提出以及主要结果 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 解的整体存在性和一致有界性 |
| 2.4 弱竞争系数下解的大时间行为 |
| 2.5 强竞争系数下解的大时间行为 |
| 3 受科氏力影响的Camassa-Holm方程解的存在性和唯一性 |
| 3.1 问题的来源和主要结果 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 弱解的全局存在性 |
| 3.3.1 半线性系统解的全局存在性 |
| 3.3.2 模型(3.5)解的全局存在性 |
| 3.4 弱解的唯一性 |
| 3.4.1 一些重要的引理 |
| 3.4.2 弱解唯一性的证明 |
| 4 受科氏力影响的Camassa-Holm方程解的Lipschitz度量 |
| 4.1 问题的提出和主要结果 |
| 4.2 一些重要的不等式和引理 |
| 4.3 光滑解的切向量的Finsler范数 |
| 4.4 解的一般正则性结果 |
| 4.5 解的路径 |
| 4.6 一般弱解的Lipschitz度量 |
| 4.6.1 坐标变换下的切向量 |
| 4.6.2 逐段正则的路径的长度 |
| 4.6.3 Lipschitz度量的构造 |
| 4.6.4 和其他度量的比较 |
| 5 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| A.作者在攻读博士学位期间完成的论文目录 |
| B.作者在攻读博士学位期间参加科研项目 |
| C.作者在攻读博士学位期间获奖情况 |
| D.学位论文数据集 |
| 致谢 |
（9）几类非线性高阶发展方程解的定性分析（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 本文的研究背景 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 第2章 一类带有双阻尼项的非线性梁方程解的衰减和爆破 |
| 2.1 假设和主要结果 |
| 2.2 解的整体存在性 |
| 2.3 解的渐近行为 |
| 2.4 解的爆破 |
| 第3章 带强阻尼项和锥退化的Petrovsky方程解的整体存在性、渐近性和爆破 |
| 3.1 预备知识 |
| 第4章 带有阻尼项,非线性源项和声学边界条件的粘弹性波动方程整体解的不存在性 |
| 4.1 预备知识和主要结果 |
| 4.2 主要结论的证明 |
| 第5章 带有非线性边界源项和弱阻尼项的高阶粘弹性波动方程的初边值问题 |
| 5.1 预备知识和主要结果 |
| 5.2.1 解的整体存在性 |
| 5.2.2 解的渐近行为 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的论文 |
| 攻读博士学位期间主持和参与的科研项目 |
| 致谢 |
（10）抛物方程奇异解的自适应网格加点格式研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 自适应网格加点法的研究现状 |
| 1.3 狄利克雷边界条件的半线性抛物方程研究现状 |
| 1.4 带有诺依曼边界条件和非线性吸收项的抛物方程的研究现状 |
| 1.5 本文主要研究工作 |
| 2 基础知识 |
| 2.1 渐近表示 |
| 2.1.1 同阶与高阶 |
| 2.1.2 渐近表示 |
| 2.2 自相似与尺度不变 |
| 3 带有狄利克雷边界条件的半线性热方程 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 自适应数值格式 |
| 3.3 数值格式的收敛 |
| 3.4 数值爆破集 |
| 3.5 数值爆破时间的收敛 |
| 3.6 数值算例 |
| 3.6.1 模拟数值爆破率 |
| 3.6.2 自适应网格加点法的误差估计 |
| 3.7 小结 |
| 4 带有诺依曼边界条件的半线性抛物方程 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 自适应数值格式 |
| 4.3 数值格式的收敛 |
| 4.4 数值爆破集 |
| 4.5 数值爆破时间的收敛 |
| 4.6 数值算例 |
| 4.6.1 模拟数值爆破率 |
| 4.6.2 自适应网格加点法的误差估计 |
| 4.7 小结 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间的研究成果 |
四、Concentration phenomena in the semilinear parabolic equation（论文参考文献）
- [1]一类退化抛物方程奇异解的数值分析[D]. 安家嘉. 西安建筑科技大学, 2021(01)
- [2]某些随机偏微分方程的Carleman估计及应用[D]. 余永毅. 东北师范大学, 2021(09)
- [3]非局部算子的谱理论及应用[D]. 苏远航. 兰州大学, 2021(12)
- [4]保证反应扩散方程物理性质的数值方法[D]. 李精伟. 新疆大学, 2020(06)
- [5]一类抛物型方程第三类边界中的参数估计方法[D]. 孙凯. 东北林业大学, 2020(01)
- [6]时间依赖相空间中吸引子的稳定性理论及其应用[D]. 李亚男. 郑州大学, 2020(02)
- [7]带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性[D]. 王宇彤. 上海交通大学, 2019(06)
- [8]非线性趋化模型和浅水波模型解的适定性[D]. 涂馨予. 重庆大学, 2019(12)
- [9]几类非线性高阶发展方程解的定性分析[D]. 于佳利. 广州大学, 2019(01)
- [10]抛物方程奇异解的自适应网格加点格式研究[D]. 梁婧. 西安建筑科技大学, 2019(06)